Question

如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是直角梯形, BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.

(1)求二面角P-CD-A的平面角的正弦值;

(2)求A到平面PCD的距离.

Answer 1

解:(1)在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是直角梯形,

且BC∥AD,∠BAD=90°,连结AC,而AB=BC=1,则AC=,

又AD=2,∠CAD=,由余弦定理可求得CD=.故AC⊥CD.

又PA⊥面ABCD,

∴AC为PC在面ABCD内的射影.

∴CD⊥PC.

∴∠PCA是二面角P-CD-A的平面角.

又PA=1,AC=,则PC=,故sin∠PCA=.

(2)由(1)可知DC⊥面PAC,

∴面PAC⊥面PCD.

过A作AH⊥PC于H,则AH⊥PC,故AH为A点到平面PCD之距.

在△PAC中,PA=1,AC=2,PC=,

∴AH==.

∴A点到平面PCD之距离为.