Question

如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫这个数列的公方差.

(1)设数列{a_n}是公方差为p的等方差数列,求a_n和a_n-1(n≥2,n∈N)的关系式；

(2)若数列{a_n}既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列为常数列.

Answer 1

思路解析:本题题目中出现了一个有关数列的新名词,对于此类问题的求解,首先应当注意正确地理解其含义,然后根据所学知识将问题求解.

(1)解:由等方差数列的定义可知a_n²-a_n-1²=p(n≥2,n∈N).

(2)证明:∵{a_n}是等差数列,设公差为d,

则a_n-a_n-1=a_n+1-a_n=d,

又{a_n}是等方差数列,

∴a_n²-a_n-1²=a_n+1²-a_n².

∴(a_n+a_n-1)(a_n-a_n-1)=(a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n),

即d(a_n+a_n-1-a_n+1-a_n)=?-2d²=0.

∴d=0,即{a_n}是常数列.