Question

已知点P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)右支上一点，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点．I为△PF₁F₂内心，若S△IPF1=S△IPF2+

1

2

S△IF1F2，则双曲线的离心率为

2

．

Answer 1

分析：设圆I与△PF₁F₂的三边F₁F₂、PF₁、PF₂分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，可得△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形．利用三角形面积公式，代入已知式S△IPF1=S△IPF2+

1

2

S△IF1F2，化简可得|PF₁|-|PF₂|=

1

2

|F₁F₂|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．

解答：解：如图，设圆I与△PF₁F₂的三边F₁F₂、PF₁、PF₂分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，
则IE⊥F₁F₂，IF⊥PF₁，IG⊥PF₂，它们分别是
△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂的高，
∴S△IPF1=

1

2

×|PF₁|×|IF|=

r

2

|PF₁|，
S△IPF2=

1

2

×|PF₂|×|IG|=

r

2

|PF₂|
S△IF1F2=

1

2

×|F₁F₂|×|IE|=

r

2

|F₁F₂|，其中r是△PF₁F₂的内切圆的半径．
∵S△IPF1=S△IPF2+

1

2

S△IF1F2
∴

r

2

|PF₁|=

r

2

|PF₂|+

r

4

|F₁F₂|
两边约去

r

2

得：|PF₁|=|PF₂|+

1

2

|F₁F₂|
∴|PF₁|-|PF₂|=|F₁F₂|
根据双曲线定义，得|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴2a=c⇒离心率为e=

c

a

=2
故答案为：2．

点评：本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题．