Question

【题目】四面体的顶点和各棱中点共10个点，则由这10点构成的直线中，有对异面直线．

Answer 1

【答案】423
【解析】解：首先我们确定四面体的顶点和各棱的中点共10个点． 可以构成的三棱锥个数（在这10点中取4个不共面的点的情况）
取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，故采用间接法：
从10个点中任取4个点有C104种取法，
其中4点共面的情况有三类．
第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；
第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；
第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），
它的4顶点共面，有3种．
以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种．
即这10个点可以构成141个三棱锥，每个三棱锥中有3对异面直线，
所以则由这10点构成的直线中，共有141×3=423对异面直线．
所以答案是：423
【考点精析】解答此题的关键在于理解异面直线的判定的相关知识，掌握过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）．