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已知数列单调递增,且各项非负.对于正整数,若任意的,仍是中的项,则称数列为“项可减数列”.

(Ⅰ)已知数列是首项为2,公比为2的等比数列,且数列是“项可减数列”,试确定的最大值.

(Ⅱ)求证:若数列是“项可减数列”,则其前项的和.

(Ⅲ)已知是各项非负的递增数列,写出(Ⅱ)的逆命题,判断该逆命题的真假,并说明理由.

 (Ⅰ) 解:设,则,

   易得,   即数列一定是“2项可减数列” …………………2分

   但因为,所以的最大值为2……………………………………4分

(Ⅱ)证明:因为数列是“项可减数列”,所以必定是数列中的项,

是递增数列,,

所以必有………………………………6分

 故

, 所以,即……………………………8分

又由定义知,数列也是“t项可减数列”(),

所以…………………………………………………………………………… 9分

(Ⅲ)解:(Ⅱ)的逆命题为:已知数列为各项非负的递增数列,若其前项的和满足

,则该数列一定是“项可减数列” ………………………………………10分

该逆命题为真命题…………………………………………………………………………………………11分

理由如下:因为,所以当时,,两式相减,

,即 (*) …………………………12分

则当时,有  (**),由(**)-(*),得……………13分

,所以,故数列是首项为0的递增等差数列………………………… 14分

设公差为,则

对于任意的,……………………………………………15分

因为,所以仍是中的项,故数列是“项可减数列”……16分

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•盐城二模)已知数列{an}单调递增,且各项非负,对于正整数K,若任意的i,j(1≤i≤j≤K),aj-ai仍是{an}中的项,则称数列{an}为“K项可减数列”.
(1)已知数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,且数列{an-2}是“K项可减数列”,试确定K的最大值;
(2)求证:若数列{an}是“K项可减数列”,则其前n项的和Sn=
n2
an(n=1,2,…,K)

(3)已知{an}是各项非负的递增数列,写出(2)的逆命题,判断该逆命题的真假,并说明理由.

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年江苏省南通市通州区高三4月查漏补缺专项检测数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知数列单调递增,且各项非负,对于正整数,若任意的),仍是中的项,则称数列为“项可减数列”.

(1)已知数列是首项为2,公比为2的等比数列,且数列是“项可减数

列”,试确定的最大值;

(2)求证:若数列是“项可减数列”,则其前项的和

(3)已知是各项非负的递增数列,写出(2)的逆命题,判断该逆命题的真假,

并说明理由.

 

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科目:高中数学 来源: 题型:

(本小题满分16分)

已知数列单调递增,且各项非负.对于正整数,若任意的,仍是中的项,则称数列为“项可减数列”.

(Ⅰ)已知数列是首项为2,公比为2的等比数列,且数列是“项可减数列”,试确定的最大值.

(Ⅱ)求证:若数列是“项可减数列”,则其前项的和.

(Ⅲ)已知是各项非负的递增数列,写出(Ⅱ)的逆命题,判断该逆命题的真假,并说明理由.

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科目:高中数学 来源:2013年吉林省实验中学高考数学二模试卷(理科)(解析版) 题型:选择题

已知数列{an}中,且{an}单调递增,则k的取值范围是( )
A.(-∞,2]
B.(-∞,3)
C.(-∞,2)
D.(-∞,3]

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