Question

12．在直角坐标系xOy中，已知点A（a，a），B（2，3），C（3，2）．
（1）若向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$的夹角为钝角，求实数a的取值范围；
（2）若a=1，点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m，n∈R），求m-n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知点的坐标求出$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$的坐标，再由向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$的夹角为钝角可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$＜0，且A、B、C不共线，由此列式求得实数a的取值范围；
（2）画出△ABC三边围成的区域，结合$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$可得x=m+2n，y=2m+n，解得m-n=y-x，令y-x=t，再由线性规划知识求得m-n的最大值．

解答 解：（1）由A（a，a），B（2，3），C（3，2）．
得$\overrightarrow{AB}=（2-a，3-a），\overrightarrow{AC}=（3-a，2-a）$，
由题意，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2（2-a）（3-a）＜0}\\{\overrightarrow{AB}≠λ\overrightarrow{AC}}\end{array}\right.$，
得2＜a＜3且a$≠\frac{5}{2}$，
∴$a∈（{2，\frac{5}{2}}）∪（{\frac{5}{2}，3}）$；
（2）a=1时，A（1，1），B（2，3），C（3，2）．
作出△ABC三边围成的区域如图：

∵$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，∴（x，y）=m（1，2）+n（2，1），
即x=m+2n，y=2m+n，解得m-n=y-x，令y-x=t，
由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m-n的最大值为1．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了简单的线性规划，体现了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．