Question

4．若y=f（x）是R上的偶函数，y=g（x）是R上的奇函数，它们都是周期函数，则下列一定正确的是（　　）

• A． 函数y=g[g（x）]是偶函数，函数y=f（x）g（x）是周期函数
• B． 函数y=g[g（x）]是奇函数，函数y=f[g（x）]不一定是周期函数
• C． 函数y=g[g（x）]是偶函数，函数y=f[g（x）]是周期函数
• D． 函数y=g[g（x）]是奇函数，函数y=f（x）g（x）是周期函数

Answer 1

分析 令m（x）=g[g（x）]，n（x）=f（x）g（x），利用函数的奇偶性的定义，周期函数的定义证明m（x）为奇函数，n（x）=f（x）g（x）一定为周期函数，从而得出结论．

解答 解：∵y=f（x）是R上的偶函数，y=g（x）是R上的奇函数，故有g（-x）=-g（x），且f（-x）=f（x）．
令m（x）=g[g（x）]，n（x）=f（x）g（x），
则m（-x）=g[g（-x）]=g[-g（x）]-g[g（x）]=-m（x），故m（x）为奇函数，故排除A、C；
∵f（x）和g（x）都是周期函数，设他们的周期的最小公倍数为t，即f（x+t）=f（x），g（x+t）=g（x），
n（x+t）=f（x+t）g（x+t）=f（x）g（x）=n（x），故n（x）=f（x）g（x）一定为周期函数，故排除B，
故选：D．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的性质，复合函数的奇偶性、周期性，属于中档题．