Question

14．在平面直角坐标系中，双曲线$\frac{x^2}{12}$-$\frac{y^2}{4}$=1的右焦点为F，一条过原点O且倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于A，B两点，若△FAB的面积为8$\sqrt{3}$，则直线l的斜率为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{7}}}{7}$

Answer 1

分析 设直线l的方程为y=kx，代入双曲线$\frac{x^2}{12}$-$\frac{y^2}{4}$=1，求得得x²-3k²x²=12，求得A，B的横坐标，代入直线方程求得，求得其纵坐标，求出A，B纵坐标差的绝对值，根据△FAB的面积为8$\sqrt{3}$，即可求出直线的斜率．

解答 解：双曲线C：$\frac{x^2}{12}$-$\frac{y^2}{4}$=1的右焦点为F（4，0）．
设直线l的方程为y=kx，代入$\frac{x^2}{12}$-$\frac{y^2}{4}$=1，整理得x²-3k²x²=12，
∴x=±$\sqrt{\frac{12}{1-3{k}^{2}}}$，
∴A，B纵坐标差的绝对值为2k$\sqrt{\frac{12}{1-3{k}^{2}}}$，
∵△FAB的面积为8 $\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$•4•2k $\sqrt{\frac{12}{1-3{k}^{2}}}$=8 $\sqrt{3}$，
∴解得：k=$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．