Question

6．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上有一点M（-4，$\frac{9}{5}$）在抛物线y²=2px（p＞0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q，求|MN|+|NQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意求得c=-4，得到p=8，再由点M（-4，$\frac{9}{5}$）在椭圆上，结合隐含条件求得a，b的值，则椭圆方程和抛物线方程可求；
（2）由题意画出图形，由抛物线定义把|MN|+|NQ|的最小值转化为|MF|求解．

解答 解：（1）∵$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上的点M在抛物线y²=2px（p＞0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点．
∴c=-4，p=8…①
∵M（-4，$\frac{9}{5}$）在椭圆上，∴$\frac{16}{{a}^{2}}+\frac{81}{25{b}^{2}}=1$…②
又∵a²=b²+c²…③
∴由①②③解得：a=5、b=3，
∴椭圆为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
由p=8得抛物线为y²=16x．
（2）设椭圆焦点为F（4，0），由椭圆定义得|NQ|=|NF|，
∴|MN|+|NQ|=|MN|+|NF|≥|MF|=$\sqrt{（-4-4）^{2}+（\frac{9}{5}-0）^{2}}=\frac{41}{5}$，即为所求的最小值．

点评 本题考查椭圆与抛物线的简单性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．