Question

如图，已知：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是AB与PD的中点.

（1）求证：PC⊥BD；

（2）求证：AF//平面PEC；

（3）求二面角P—EC—D的大小.

Answer 1

（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

解析:

证明：（1）连结AC，则AC⊥BD。

∵PA⊥平面ABCD，AC是斜线PC在平面ABCD上的射影，

∴由三垂线定理得PC⊥BD。………………4分

   （2）取PC的中点K，连结FK、EK，则四边形AEKF是平行四边形。

∴AF//EK，又EK平面PEC，AF平面PEC，∴AF//平面PEC。…………4分

   （3）延长DA、CE交于M，过A作AH⊥CM于H，

连结PH，由于PA⊥平面ABCD，可得PH⊥CM。

∴∠PHA为所求二面角P—EC—D的平面角。………………10分

∵E为AB的中点，AE//CD，∴AM=AD=2，

在△AME中，∠MAE=120°，

由余弦定理得

………………14分