Question

（本小题满分12分）

如图，△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC ,AB=2，已知AE与平面ABC所成的角为θ,且tanθ=。

（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ADE；

（Ⅱ）记AC=x，V(x)表示三棱锥A－CBE的体积，求V(x)的表达式；

（Ⅲ）当V(x)取得最大值时，求二面角D－AB－C的大小。

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵四边形DCBE为平行四边形     ∴CD∥BE，BC∥DE

∵ DC⊥平面ABC ,BCÌ平面ABC      ∴DC⊥BC．

∵AB是圆O的直径  ∴BC⊥AC且DC∩AC=C   ∴BC⊥平面ADC． 

∵DE//BC   ∴DE⊥平面ADC

又∵DEÌ平面ADE   ∴平面ACD⊥平面  ………………3分

（Ⅱ）∵ DC平面ABC    ∴平面ABC

∴为AE与平面ABC所成的角，即＝

在Rｔ△ABE中，由,得

在Rｔ△ABC中 ∵（）

∴

∴（）－－－7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

要取得最大值，当且仅当取得最大值，

∵当且仅当，即时，“＝”成立，

∴当取得最大值时,这时△ACB为等腰直角三角形－－9分

连结CO，DO

∵AC=BC,DC=DC

∴≌   ∴AD=DB  

又∵O为AB的中点  ∴

∴为二面角D－AB－C的平面角

在中    ∵,

∴,  ∴=

即当取得最大值时，二面角D－AB－C为60°．－－－－－－12分