Question

已知动圆C过定点M（0，2），且在x轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C方程；
（Ⅱ）点A为直线l：x-y-2=0上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为P、Q，△APQ面积的最小值及此时点A的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为C（x，y），根据题意得

x2+(y-2)2

=

y2+4

，由此能求出曲线C方程．
（Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx+b，由

x2=4y y=kx+b

，得x²-4kx-4b=0，由此利用根的判别式、韦达定理、切线方程、点到直线的距离公式能求出△APQ面积的最小值及此时点A的坐标．

解答： 解：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为C（x，y），
根据题意得

x2+(y-2)2

=

y2+4

，…（2分）
化简得x²=4y．
∴曲线C方程为x²=4y．…（4分）
（Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx+b，
由

x2=4y y=kx+b

，消去y得x²-4kx-4b=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

x1+x2=4k x1x2 =-4b

，
且△=16k²+16b．…（6分）
以点P为切点的切线的斜率为k_P=

1

2

x1，
其切线方程为y-y₁=

1

2

x1(x-x1)，
即y=

1

2

x1x-

1

4

x12，
同理过点Q的切线的方程为y=

1

2

x2x-

1

4

x22，
设两条切线的交点为A（x_A，y_A）在直线x-y-2=0上，
解得

xA= x1+x2 2 =2k yA= x1x2 4 =-b

，即A（2k，-b），
则：2k+b-2=0，即b=2-2k，…（8分）
代入△=16k²+16b=16k²+32-32k=16（k-1）²+16＞0，
∴|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=4

1+k2

k2+b

，
A（2k，-b）到直线PQ的距离为d=

|2k2+2b|

k2+1

，…（10分）
∴S_△APQ=

1

2

|PQ|d=4|k²+b|

k2+b

=4（k²+b） 

3

2

=4[（k-1）²+1] 

3

2

，
∴当k=1时，S_△APQ最小，其最小值为4，
此时点A的坐标为（2，0）．…（12分）

点评：本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，解题时要注意推理论证能力的培养．