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    已知点P在椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    上，以P为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F2，且
    OP
    •
    OF2
    =2    ，tan∠OPF2=
    		2
    ，其中O为坐标原点．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）已知点M（-1，0），设Q是椭圆C上的一点，过Q、M两点的直线l交y轴于点N，若
    NQ
    =2
    QM
    ，求直线l的方程；
    （Ⅲ）作直线l1与椭圆D：
    x2
    a2
    +
    2y2
    b2
    =1    交于不同的两点S，T，其中S点的坐标为（-2，0），若点G（0，t）是线段ST垂直平分线上一点，且满足
    GS
    •
    GT
    =4    ，求实数t的值．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（Ⅰ）由已知条件推导出PF2⊥OF2，设r为圆P的半径，c为椭圆的半焦距，由
    OP
    •
    OF2
    =2    ，tan∠OPF2=
    c
    r
    =
    		2
    ，求出c=
    		2
    ，r=1    ，再由点P(±
    		2
    ，1)    在椭圆，求出a2=4，b2=2，由此能求出椭圆C的方程．
    （Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+1），由N（0，k），Q（x1，y1），
    NQ
    =2
    QM
    ，能求出直线l的方程．
    （Ⅲ）由题意知椭圆D：
    x2
    4
    +y2=1    ，设直线l1的方程为y=k（x+2），把它代入椭圆D的方程得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0，利用韦达定理能求出满足条件的实数t的值．
    解答： （本小题满分14分）
    解：（Ⅰ）由题意知，在△OPF2中，PF2⊥OF2，
    由tan∠OPF2=
    		2
    ，得：cos∠POF2=
    		6
    3
    ，
    设r为圆P的半径，c为椭圆的半焦距，
    ∵
    OP
    •
    OF2
    =2    ，∴
    		c2+r2
    •c•
    		6
    3
    =2    ，
    又，tan∠OPF2=
    c
    r
    =
    		2
    ，解得：c=
    		2
    ，r=1    ，
    ∴点P的坐标为(±
    		2
    ，1)    ，…（2分）
    ∵点P在椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    上，∴
    (±
    		2
    )    2
    a2
    +
    1
    b2
    =1    ，
    又a2-b2=c2=2，解得：a2=4，b2=2，
    ∴椭圆C的方程为
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1    ．…（4分）
    （Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C的方程为
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1    ，
    由题意知直线l的斜率存在，故设其斜率为k，
    则其方程为y=k（x+1），N（0，k），
    设Q（x1，y1），∵
    NQ
    =2
    QM
    ，
    ∴（x1，y1-k）=2（-1-x1，-y1），
    ∴x1=-
    2
    3
    ，y1=
    k
    3
    ，…（7分）
    又∵Q是椭圆C上的一点，∴
    (-
    2
    3
    )    2
    4
    +
    (
    k
    3
    )    2
    2
    =1    ，
    解得k=±4，
    ∴直线l的方程为4x-y+4=0或4x+y+4=0．…（9分）
    （Ⅲ）由题意知椭圆D：
    x2
    4
    +y2=1    ，
    由S（-2，0），设T（x1，y1），
    根据题意可知直线l1的斜率存在，
    设直线斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x+2），
    把它代入椭圆D的方程，消去y，
    整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0，
    由韦达定理得-2+x1=-
    16k2
    1+4k2
    ，
    则x1=
    2-8k2
    1+4k2
    ，y1=k（x1+2）=
    4k
    1+4k2
    ，
    所以线段ST的中点坐标为(-
    8k2
    1+4k2
    ，
    2k
    1+4k2
    )    ，
    （1）当k=0时，则有T（2，0），线段ST垂直平分线为y轴，
    ∴
    GS
    =(-2，-t)，
    GT
    =(2，-t)    ，
    由
    GS
    •
    GT
    =-4+t2=4    ，解得：t=±2
    		2
    ．…（11分）
    （2）当k≠0时，则线段ST垂直平分线的方程为y-
    2k
    1+4k2 
    =-
    1
    k
    （x+
    8k2
    1+4k2
    ），
    ∵点G（0，t）是线段ST垂直平分线的一点，
    令x=0，得：t=-
    6k
    1+4k2
    ，
    ∴
    GS
    =(-2，-t)，
    GT
    =(x1，y1-t)    ，
    由
    GS
    •
    GT
    =-2x1-t(y1-t)=
    4(16k4+15k2-1)
    (1+4k2)2
    =4    ，解得：k=±
    		14
    7
    ，
    代入t=-
    6k
    1+4k2
    ，解得：t=±
    2
    		14
    5
    ，
    综上，满足条件的实数t的值为t=±2
    		2
    或t=±
    2
    		14
    5
    ．…（14分）
    点评：本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
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    下列说法中：
    ①若2b=a+c，则a，b，c成等差数列；
    ②若b2=ac，则a，b，c成等比数列；
    ③若{an}为等差数列，则数列{2an}为等比数列；
    ④常数列既是等比数列，又是等差数列．
    其中，正确说法的是
     
     （把你认为正确的条件序号都填上）

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    A、“a=b”是“ac=bc”的充要条件
    B、“a+
    		5
    是无理数”是“a是无理数”的充要条件
    C、“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件
    D、“a＜5”是“a＜3”的必要条件

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    （1）证明：AC平分∠BAD．
    （2）若点A的坐标为（-1，1），S四边形ABCD=4，求直线BD的解析式．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

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    		2
    的圆，点P是圆E上任意一点，线段FP的垂直平分线l和半径EP所在的直线交于点Q．
    （Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程T；
    （Ⅱ）已知M，N是曲线T上的两点，若曲线T上存在点P，满足
    OM
    +
    ON
    =λ
    OP
    （O为坐标原点），求实数λ的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=tx-t-lnx（t＞0）．
    （Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数t的取值范围；
    （Ⅱ）当n≥2且n∈N*时，证明：
    1
    ln2
    +
    1
    ln3
    …+
    1
    lnn
    ＞lnn    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．
    （Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；
    （Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值；
    （Ⅲ）判断函数F（x）=2f（x）-g（x）+2零点个数．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知x+5y≤60，5x+3y≤40，x∈N，y∈N，求Z=200x+150y的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知动圆C过定点M（0，2），且在x轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C．
    （Ⅰ）求曲线C方程；
    （Ⅱ）点A为直线l：x-y-2=0上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为P、Q，△APQ面积的最小值及此时点A的坐标．

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