Question

17．如图：AB是抛物线y²=2px（p＞0）过焦点F的一条弦，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x₀，y₀），相应的准线为l．
证明：
（1）以AB为直径的圆必与准线l相切；
（2）|AB|=2（x₀+$\frac{p}{2}$）（焦点弦长与中点关系）；
（3）|AB|=x₁+x₂+p；
（4）x₁•x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，y₁•y₂=-p²．

Answer 1

分析 （1）分别过A、B、M作准线的垂线AA₁、BB₁、MM₁，垂足分别为A₁、B₁、M₁，作出图形，利用抛物线的定义及梯形的中位线性质可推导，|MM₁|=$\frac{1}{2}$|AB|，从而可判断圆与准线的位置关系；
（2）直接由（1）中的结论|AB|=2|MM₁|得答案；
（3）直接利用抛物线的定义域证明|AB|=x₁+x₂+p；
（4）由抛物线方程得到焦点坐标，写出AB所在直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得y₁y₂为定值，进一步得到x₁•x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$．

解答 证明：（1）分别过A、B、M作准线的垂线AA₁、BB₁、MM₁，垂足分别为A₁、B₁、M₁，如图所示：
由抛物线的定义可知，|AA₁|=|AF|，|BB₁|=|BF|，
在直角梯形APQB中，|MM₁|=$\frac{1}{2}$（|AA₁|+|BB₁|）=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|）=$\frac{1}{2}$|AB|，
故圆心M到准线的距离等于半径，
∴以AB为直径的圆与抛物线的准线l相切；
（2）由（1）知，|MM₁|=$\frac{1}{2}$|AB|，则|AB|=2|MM₁|，
∵|MM₁|=${x}_{0}+\frac{p}{2}$，∴|AB|=2（x₀+$\frac{p}{2}$）；
（3）|AB|=|AF|+|BF|=|AA₁|+|BB₁|=${x}_{1}+\frac{p}{2}+{x}_{2}+\frac{p}{2}$=x₁+x₂+p；
（4）根据抛物线方程，得F（$\frac{p}{2}$，0），直线AB的方程为x=ty+$\frac{p}{2}$，
联立抛物线方程得y²-2ptx-p²=0．
∴y₁y₂=-p²，则x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}•\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}=\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}=\frac{{p}^{4}}{4{p}^{2}}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查了抛物线的焦点弦与抛物线的位置关系问题，学习中应对以上性质在理解的基础上加以记忆，该题是中档题．