Question

如图，平行四边形ABCD的两条对角线交于点M，设E为BM的中点，F为BC上的点且BF=

1

2

FC．
（1）证明：A，E，F三点共线；
（2）若AB=2，AD=1，且∠DAB=60°，求：①AE的长度；②求∠CAE的余弦值；③向量AE在向量AC上的投影．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平行向量与共线向量

专题：计算题,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的中点表示，及平面向量基本定理，求出向量AE，AF，均由向量AB，AC表示，即可得证；
（2）求出向量AC的长，再由向量的平方即为模的平方，即可得到向量AE的长；运用向量的夹角公式，即可求得cos∠CAE；再由

AE

在向量

AC

上的投影为

AE • AC

| AC |

，计算即可得到．

解答： （1）证明：E为BM的中点，则

AE

=

1

2

（

AM

+

AB

）
=

1

2

（

1

2

AC

+

AB

）=

1

4

AC

+

1

2

AB

=

1

4

（2

AB

+

AC

），
F为BC上的点且

BF

=

1

2

FC

，
则有

AF

-

AB

=

1

2

（

AC

-

AF

），
即有

AF

=

2 AB + AC

3

，
即有

AF

=

4

3

AE

，即A，E，F三点共线；
（2）解：①

AC

=

AB

+

AD

，
|

AC

|=

AB 2+ AD 2+2 AB • AD

=

4+1+2×2×1× 1 2

=

7

，
由（1）得，

AE

=

1

4

AC

+

1

2

AB

=

3

4

AB

+

1

4

AD

，
|

AE

|=

9 16 AB 2+ 1 16 AD 2+ 3 8 AB • AD

=

9 16 ×4+ 1 16 ×1+ 3 8 ×2×1× 1 2

=

43

4

；
②cos∠CAE=

AC • AE

| AC |•| AE |

=

3 4 AB 2+ 1 4 AD 2+ AD • AB

7 • 43 4

=

3 4 ×4+ 1 4 +1

301 4

=

17 301

301

；
③

AE

在向量

AC

上的投影为

AE • AC

| AC |

=

17 4

7

=

17 7

28

．

点评：本题考查向量的共线定理的运用，考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的夹角公式和向量的投影的概念，考查运算能力，属于中档题．