Question

已知函数f（x）=mx-（2m-1）lnx+n．
（Ⅰ）若f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x，求实数m、n的值；
（Ⅱ）当m＞0时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）当m=1时，f（x）在区间（

1

e

，e）上恰有一个零点，求实数n的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数零点的判定定理,变化的快慢与变化率

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，结合已知得方程组

f′(1)=1-m=1 f(1)=m+n=1

，求解方程组得m，n的值；
（Ⅱ）求出函数的导函数，分0＜m≤

1

2

和m＞

1

2

讨论函数的单调性；
（Ⅲ）把m=1代入函数解析式，由（Ⅱ）中的函数单调性求得f（x）的最小值，通过比较得到f(

1

e

)＜f(e)，然后把f（x）在区间(

1

e

，e)上恰有一个零点转化为
f（1）=0或

f(e)＞0 f( 1 e )≤0

，由此求得n的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=mx-（2m-1）lnx+n，得
f′(x)=m-

2m-1

x

=

mx-(2m-1)

x

，依题意有

f′(1)=1-m=1 f(1)=m+n=1

，
解得：

m=0 n=1

；
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），
由f′(x)=m-

2m-1

x

=

mx-(2m-1)

x

=

m[x- (2m-1) m ]

x

，
①当0＜m≤

1

2

时，恒有f'（x）＞0，故f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
②当m＞

1

2

时，f′(x)=

m[x- (2m-1) m ]

x

，
令f'（x）=0，得x=

2m-1

m

＞0，f（x）及f'（x）的值变化情况如下表：

x	(0， 2m-1 m )	2m-1 m	( 2m-1 m ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

故f（x）的单调递减区间为(0，

2m-1

m

)，单调递增区间为(

2m-1

m

，+∞)；
（Ⅲ）当m=1时，f（x）=x-lnx+n，
由（Ⅱ）知，f（x）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数，
∴f（x）的最小值为f（1）=1+n．
∵f(

1

e

)=

1

e

+1+n，f（e）=e-1+n，
∴f(

1

e

)-f(e)=

1

e

+1-e+1=2+

1

e

-e＜0，
即：f(

1

e

)＜f(e)．
∵f（x）在区间(

1

e

，e)上恰有一个零点，
∴f（1）=0或

f(e)＞0 f( 1 e )≤0

，
即：1+b=0或

e-1+n＞0 1 e +1+n≤0

．
解得：n=-1或1-e＜n≤-1-

1

e

．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了函数零点的判定方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．