Question

已知曲线C的方程是y²=4x，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃）是曲线C上的点，且|

AF

|，|

BF

|，|

DF

|成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求B点的坐标．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由抛物线的焦半径公式把|

AF

|，|

BF

|，|

DF

|用三点A、B、D的坐标表示，根据|

AF

|，|

BF

|，|

DF

|成等差数列把B的坐标用A，B的坐标表示，然后写出AD的斜率，AD的中垂线的斜率，由斜率之积等于-1得到B的横坐标的值，代入抛物线方程求得B的坐标．

解答： 由抛物线的定义，知|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，|DF|=x₃+1，
∵|

AF

|，|

BF

|，|

DF

|成等差数列，
∴2x₂+2=x₁+1+x₃+1，即x₂=

x1+x3

2

．
∵线段AD的中点为（

x1+x3

2

，

y1+y3

2

），且线段AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0），
∴线段AD的垂直平分线的斜率为k=

y1+y2 2

x1+x2 2 -3

．
又k_AD=

y3-y1

x3-x1

，
∴

y3-y1

x3-x1

•

y1+y3

x1+x3-6

=-1，
即

4x3-4x1

(x32-x12)-6(x3-x1)

=-1．
∵x₁≠x₃，∴x₁+x₃=2，
又x₂=

x1+x3

2

，
∴x₂=1．
∵点B在抛物线上，
∴y22=4x2=4，y₂=±2．
∴B（1，2）或（1，-2）．

点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的方程，体现了整体运算思想方法，是中档题．