Question

【题目】已知平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣1，﹣2）的直线l的参数方程为 （t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsinθtanθ=2a（a＞0），直线l与曲线C相交于不同的两点M、N．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若|PM|=|MN|，求实数a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直线l的参数方程为 （t为参数），

∴直线l的普通方程：x﹣y﹣1=0，

∵曲线C的极坐标方程为 ρsinθtanθ=2a（a＞0），

∴ρ2sin2θ=2aρcosθ（a＞0），

∴曲线C的普通方程：y2=2ax

（2）解：∵y2=2ax；

∴x≥0，

设直线l上点M、N对应的参数分别为t1，t2，（t1＞0，t2＞0），

则|PM|=t1，|PN|=t2，

∵|PM|=|MN|，

∴|PM|= |PN|，

∴t2=2t1，

将 （t为参数），代入y2=2ax得

t2﹣2 （a+2）t+4（a+2）=0，

∴t1+t2=2 （a+2），

t1t2=4（a+2），

∵t2=2t1，

∴a=

【解析】（1）利用同角的平方关系以及极坐标方程和直角坐标的互化公式求解；（2）结合直线的参数方程中参数的几何意义和二次方程的韦达定理，求解即可．