【题目】已知动点M(x,y)到直线l:x=3的距离是它到点D(1,0)的距离的 倍.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)设轨迹C上一动点T满足: =2λ
+3μ
,其中P、Q是轨迹C上的点,且直线OP与OQ的斜率之积为﹣
.若N(λ,μ)为一动点,F1(﹣
,0)、F2(
,0)为两定点,求|NF1|+|NF2|的值.
【答案】
(1)解:设M(x,y),则M到直线l的距离为|x﹣3|,MD= ,
∴|x﹣3|= ,化简得
,
∴动点M的轨迹C的方程为 .
(2)解:设P( cosα,
sinα),Q(
cosβ,
sinβ),
则kOP= ,kOQ=
,∴kOPkOQ=
=﹣
,
∴sinαsinβ+cosαcosβ=0,
∵ =2λ
+3μ
,∴T(2
λcosα+3
μcosβ,2
λsinα+3
μsinβ),
∵T在曲线C 上,
∴2(2 λcosα+3
μcosβ)2+3(2
λsinα+3
μsinβ)2=6,
化简得4λ2+9μ2=1,即 ,
∴N(λ,μ)点轨迹方程为 ,
F1(﹣ ,0)、F2(
,0)为此椭圆的两个焦点,
∴|NF1|+|NF2=2 =1.
【解析】(1)设M(x,y),用x,y表示出距离,列方程化简即可;(2)设P( cosα,
sinα),Q(
cosβ,
sinβ),表示出T点坐标,代入曲线C的方程化简可得N的轨迹方程,利用椭圆的性质得出定值.
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【题目】已知平面直角坐标系xOy中,过点P(﹣1,﹣2)的直线l的参数方程为 (t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsinθtanθ=2a(a>0),直线l与曲线C相交于不同的两点M、N.
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若|PM|=|MN|,求实数a的值.
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【题目】设是异面直线,则以下四个命题:①存在分别经过直线
和
的两个互相垂直的平面;②存在分别经过直线
和
的两个平行平面;③经过直线
有且只有一个平面垂直于直线
;④经过直线
有且只有一个平面平行于直线
,其中正确的个数有( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】已知函数的最小正周期为
,且其图象的一个对称轴为
,将函数
图象上所有点的橫坐标缩小到原来的
倍,再将图象向左平移
个单位长度,得到函数
的图象.
(1)求的解析式,并写出其单调递增区间;
(2)求函数在区间
上的零点;
(3)对于任意的实数,记函数
在区间
上的最大值为
,最小值为
,求函数
在区间
上的最大值.
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【题目】为选派一名学生参加全市实践活动技能竟赛,A、B两位同学在学校的学习基地现场进行加工直径为20mm的零件测试,他俩各加工的10个零件直径的相关数据如图所示(单位:mm)
A、B两位同学各加工的10个零件直径的平均数与方差列于下表;
平均数 | 方差 | |
A | 20 | 0.016 |
B | 20 | s2B |
根据测试得到的有关数据,试解答下列问题:
(Ⅰ)计算s2B,考虑平均数与方差,说明谁的成绩好些;
(Ⅱ)考虑图中折线走势情况,你认为派谁去参赛较合适?请说明你的理由.
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【题目】设f(x)=ex﹣e﹣x﹣x.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)已知g(x)=x2f(x)+(x+1)[f(x)+(1﹣a)x]+(1﹣a)x3 . 若对所有x≥0,都有g(x)≥0成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且满足a1=1,anan+1=2Sn , 设bn= ,若存在正整数p,q(p<q),使得b1 , bp , bq成等差数列,则p+q= .
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