Question

【题目】已知函数的最小正周期为，且其图象的一个对称轴为，将函数图象上所有点的橫坐标缩小到原来的倍，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.

（1）求的解析式，并写出其单调递增区间；

（2）求函数在区间上的零点；

（3）对于任意的实数，记函数在区间上的最大值为，最小值为，求函数在区间上的最大值.

Answer 1

【答案】（1），单调递增区间为；

（2）、、；（3）.

【解析】

（1）由函数的最小正周期求出的值，由图象的对称轴方程得出的值，从而可求出函数的解析式；

（2）先利用图象变换的规律得出函数的解析式，然后在区间上解方程可得出函数的零点；

（3）对分三种情况、、分类讨论，分析函数在区间上的单调性，得出和，可得出关于的表达式，再利用函数的单调性得出函数的最大值.

（1）由题意可知，，.

令，即，

即函数的图象的对称轴方程为.

由于函数图象的一条对称轴方程为，，

，，，则，因此，.

函数的单调递增区间为；

（2）将函数的图象上所有点的橫坐标缩小到原来的倍，得到函数.

再将所得函数的图象向左平移个单位长度，

得到函数.

令，即，化简得，

得或.

由于，当时，；当时，或.

因此，函数在上的零点为、、；

（3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，，由于，，

此时，；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，，由于，，

此时，；

当时，函数在区间上单调递减，

所以，，，

此时，.

所以，.

当时，函数单调递减，；

当时，函数单调递增，此时；

当时，，当时，.

综上所述：.