Question

已知函数f（x）=2x²+ax-1．
（Ⅰ）若函数是偶函数，求a的值；
（Ⅱ）若函数在（-∞，1）是减函数，求a的取值范围
（Ⅲ）若函数有两个零点，其中一个在（-1，1）上，另一个在（1，2）上，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若函数是偶函数，则由f（-x）=f（x）可得 2x² -ax-1=2x²+ax-1，求得a=0．
（Ⅱ）若函数在（-∞，1）是减函数，则有-

a

4

≥1，由此求得a的取值范围．
（Ⅲ）则由二次函数的图象和性质可得

f(-1)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，即

1-a＞0 1+a＜0 7+2a＞0

，由此解得a的范围．

解答：解：（Ⅰ）若函数是偶函数，则由f（-x）=f（x）可得 2x² -ax-1=2x²+ax-1，求得a=0．
（Ⅱ）若函数在（-∞，1）是减函数，则有-

a

4

≥1，求得a≤-4，故a的取值范围为（-∞，-4]．
（Ⅲ）函数f（x）=2x²+ax-1有两个零点，其中一个在（-1，1）上，另一个在（1，2）上，则由二次函数的图象和性质可得

f(-1)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，
即

1-a＞0 1+a＜0 7+2a＞0

，解得-

7

2

＜a＜-1，故a的范围为（-

7

2

，-1）．

点评：本题主要考查二次函数的性质的应用，函数的奇偶性的应用，属于基础题．