Question

当x∈（0，

π

2

）时，函数f（x）=tx-sinx（t∈R）的值恒小于0，则t的取值范围是（　　）

• A、t≤

  2

  π

• B、t≤

  π

  2

• C、t≥

  2

  π

• D、t＜

  π

  2

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：当x∈（0，

π

2

）时，函数f（x）=tx-sinx（t∈R）的值恒小于0?t＜

sinx

x

=g（x），利用导数的运算法则可得x＜tanx，g′（x）=

cosx(x-tanx)

x2

＜0，即可得出．

解答： 解：∵当x∈（0，

π

2

）时，函数f（x）=tx-sinx（t∈R）的值恒小于0，
∴t＜

sinx

x

=g（x），
g′（x）=

xcosx-sinx

x2

=

cosx(x-tanx)

x2

，
令h（x）=x-tanx，x∈（0，

π

2

），
则h′（x）=1-

1

cos2x

＜0，
∴h（x）＜h（0），
∴x＜tanx．
∴g′（x）＜0，
∴g（x）＞g(

π

2

)=

2

π

．
∴t≤

2

π

．
故选：A．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．