Question

已知各项均不为零的数列{a_n}满足S_n=

a

a-1

(an-1)（a为非零常数且a≠1）
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=

2Sn

an

+1，且b₁，b₂，b₃成等比数列，求a的值．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=

a

a-1

(an-1)，知S_n+1=

a

a-1

（a_n+1-1），利用迭代法能求出{a_n}的通项公式；
（2）由a_n=aⁿ知，b_n=

(3a-1)•an-2a

an(a-1)

，若b₁，b₂，b₃成等比数列，则有b22=b₁b₃，由等比数列的性质能够求出a的值．

解答： 解：（1）∵S_n=

a

a-1

(an-1)，
∴S_n+1=

a

a-1

（a_n+1-1），
从而a_n+1=S_n+1-S_n=

a

a-1

（a_n+1-a_n），
∴a_n+1=a•a_n，
当n=1时，由S_n=

a

a-1

(an-1)，得a₁=a．
∴数列{a_n}是以a为首项，a为公比的等比数列，故a_n=aⁿ．
（2）由（1）知，b_n=

(3a-1)•an-2a

an(a-1)

，
若{b_n}为等比数列，
则有b22=b₁b₃，而b₁=3，b₂=

3a+2

a

，b₃=

3a2+2a+2

a2

，
∴（

3a+2

a

）²=3•

3a2+2a+2

a2

，
∴a=

1

3

点评：本题考查数列的通项公式的应用，考查数列前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．