Question

5．函数f（x）=1+x-sinx在区间（0，2π）上是（　　）

• A． 增函数
• B． 减函数
• C． 在区间（0，π）上单调递增，在区间（0，2π）上单调递减
• D． 在区间（0，π）上单调递减，在区间（0，2π）上单调递增

Answer 1

分析 首先对函数求导数，得f'（x）=1-cosx，再根据余弦函数y=cosx在（0，2π）上恒小于1，得到在（0，2π）上f'（x）=1-cosx＞0恒成立．结合导数的符号与原函数单调性的关系，得到函数f（x）=1+x-sinx在（0，2π）上是增函数．

解答 解：对函数f（x）=1+x-sinx求导数，得f'（x）=1-cosx，
∵-1≤cosx＜1在（0，2π）上恒成立，
∴在（0，2π）上f'（x）=1-cosx＞0恒成立，
因此函数函数f（x）=1+x-sinx在（0，2π）上是单调增函数．
故选：A．

点评 本题给出一个特殊的函数，通过研究它的单调性，着重考查了三角函数的值域和利用导数研究函数的单调性等知识点，属于中档题．