Question

12．设数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{4}{3}$a_n-2ⁿ+1，n=1，2，3…．
（1）令b_n=a_n+3•2^n-1，求证：{b_n}为等比数列，并求出{a_n}；
（2）设c_n=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}+47}$，n=1，2，3…，求c_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1可知当n≥2时$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=4，进而计算即得结论；
（2）通过a_n=6•4^n-1-3•2^n-1，计算可知S_n=2•4ⁿ-3•2ⁿ+1，进而c_n=$\frac{1}{2•{2}^{n}+\frac{48}{{2}^{n}}-3}$，利用基本不等式同时计算c₂、c₃并比较大小即可．

解答 （1）证明：∵S_n=$\frac{4}{3}$a_n-2ⁿ+1，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=（$\frac{4}{3}$a_n-2ⁿ+1）-（$\frac{4}{3}$a_n-1-2^n-1+1）
=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{4}{3}$a_n-1-2^n-1，
∴a_n+3•2^n-1=4（a_n-1+3•2^n-2），即$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=4，
又∵a₁=S₁=$\frac{4}{3}$a₁-2+1，
∴a₁=3，∴b₁=a₁+3•2^1-1=3+3=6，
∴数列{b_n}是以6为首项、4为公比的等比数列，
∴b_n=6•4^n-1，
∴a_n=b_n-3•2^n-1=6•4^n-1-3•2^n-1；
（2）解：∵a_n=6•4^n-1-3•2^n-1，
∴S_n=$\frac{4}{3}$a_n-2ⁿ+1=$\frac{4}{3}$（6•4^n-1-3•2^n-1）-2ⁿ+1
=8•4^n-1-4•2^n-1-2ⁿ+1
=2•4ⁿ-2•2ⁿ-2ⁿ+1
=2•4ⁿ-3•2ⁿ+1，
∴c_n=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}+47}$=$\frac{{2}^{n}}{2•{4}^{n}-3•{2}^{n}+1+47}$=$\frac{1}{2•{2}^{n}+\frac{48}{{2}^{n}}-3}$，
∵2•2ⁿ+$\frac{48}{{2}^{n}}$≥2$\sqrt{2•{2}^{n}•\frac{48}{{2}^{n}}}$=8$\sqrt{6}$，当且仅当2•2ⁿ=$\frac{48}{{2}^{n}}$即n=$\frac{3+lo{g}_{2}3}{2}$时取等号，
∵1=log₂2＜log₂3＜log₂8=3，
∴2＜n＜3，
∵c₂=$\frac{{2}^{2}}{2•{4}^{2}-3•{2}^{2}+48}$=$\frac{1}{17}$，
c₃=$\frac{{2}^{3}}{2•{4}^{3}-3•{2}^{3}+48}$=$\frac{1}{19}$，
∴c_n的最大值为$\frac{1}{17}$．

点评 本题考查等比数列的判定及通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．