Question

已知动点C到点A(－1,0)的距离是它到点B(1,0)的距离的倍.

(1)试求点C的轨迹方程；

(2)已知直线l经过点P(0,1)且与点C的轨迹相切，试求直线l的方程.

Answer 1

1)设点C(x，y)，则|CA|＝，|CB|＝.

由题意，得＝×.

两边平方，得(x＋1)²＋y²＝2×[(x－1)²＋y²].

整理，得(x－3)²＋y²＝8.

故点C的轨迹是一个圆，其方程为(x－3)²＋y²＝8.

(2)由(1)，得圆心为M(3,0)，半径r＝2.

①若直线l的斜率不存在，则方程为x＝0，圆心到直线的距离d＝3≠2，故该直线与圆不相切；

②若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝kx＋1.

由直线和圆相切，得d＝＝2，整理，得k²＋6k－7＝0，解得k＝1，或k＝－7.故所求直线的方程为y＝x＋1，或y＝－7x＋1，即x－y＋1＝0或7x＋y－1＝0.