Question

动点C到点A（-1，0）的距离是它到点B（1，0）的距离的

2

倍．
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）已知直线l经过点D（0，1）且与动点C的轨迹相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设C的坐标为（x，y），根据两点间的距离公式化简等式|CA|=

2

|CB|，即可得到动点C的轨迹方程；
（2）由（1）得到C的轨迹是以M（3，0）为圆心、半径r=2

2

的圆．设所求直线l方程为y=kx+1，根据直线与圆相切利用点到直线的距离公式列式，解出k值即可得到所求满足条件的直线l的方程．

解答：解：（1）设C（x，y），可得|CA|=

(x+1)2+y2

，|CB|=

(x-1)2+y2

，
∵C到点A（-1，0）的距离是它到点B（1，0），
∴|CA|=

2

|CB|，可得

(x+1)2+y2

=

2

•

(x-1)2+y2

，
化简整理，得（x-3）²+y²=8，即为动点C的轨迹方程；
（2）由（1）可得动点C的轨迹是以M（3，0）为圆心、半径r=2

2

的圆．
设经过点D（0，1）的直线l为y=kx+1，即kx-y+1=0
∵直线l与动点C的轨迹相切，即直线l与圆M相切，
∴点M到直线l的距离等于半径，即

|3k+1|

k2+1

=2

2

，解之得k=1或-7．
由此可得直线l的方程为y=x+1或y=-7x+1．

点评：本题给出动点满足的条件，求它的轨迹方程并依此求曲线的切线方程．着重考查了两点的距离公式、直线的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．