Question

设动点P到点A（-1，0）和B（1，0）的距离分别为d₁和d₂，∠APB=2θ，且存在常数λ（0＜λ＜1），使得d₁d₂sin²θ=λ．
（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）过点B作直线双曲线C的右支于M，N两点，试确定λ的范围，使，其中点O为坐标原点．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先利用余弦定理写出d₁和d₂的等量关系式，然后把它变形为（d₁-d₂）²=*的形式，即|d₁-d₂|=*的形式，此时满足双曲线的定义，则问题得证，最后由双曲线的标准方程形式即可写出其方程．
（2）首先根据直线MN是否垂直于x轴进行讨论，若直线MN垂直于x轴，则直线方程为x=1，又=0可得M、N的坐标，代入双曲线方程即得λ的值；若直线MN不垂直于x轴，则设其点斜式方程，并与双曲线方程联立方程组，可消y得x的一元二次方程，再由根与系数的关系用k与λ的代数式表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而由=0及x₁+x₂＞0，x₁x₂＞0通过整理消去k得到λ的不等式，此时解不等式即可，最后把两种情况综合之．
解答：（1）证明：在△PAB中，|AB|=2，即2²=d₁²+d₂²-2d₁d₂cos2θ，4=（d₁-d₂）²+4d₁d₂sin²θ，
即（常数），
所以点P的轨迹C是以A，B为焦点，实轴长的双曲线．
又b²=1-（1-λ），所以C的方程为：．

（2）解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，M（1，1），N（1，-1）在双曲线上．
即，因为0＜λ＜1，所以．
②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x-1）．
由得：[λ-（1-λ）k²]x²+2（1-λ）k²x-（1-λ）（k²+λ）=0，
由题意知：[λ-（1-λ）k²]≠0，
所以，．
于是：．
因为，且M，N在双曲线右支上，所以．
由①②知，λ的取值范围是：．
点评：本题考查双曲线的定义、标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系，综合性强，字母运算量大，且需分类讨论．