Question

设动点P到点A(－1，0)和B(1，0)的距离分别为d₁和d₂，，且存在常数λ(0＜λ＜1)，使得．

(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

(2)过点B作直线双曲线C的右支于M，N两点，试确定λ的范围，使，其中点O为坐标原点．

Answer 1

答案：
解析：

　　解法一：(1)在中，，

　　即，

　　，

　　即(常数)，

　　点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线．

　　方程为：．

　　(2)设，

　　①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上．

　　即，因为，所以．

　　②当不垂直于轴时，设的方程为．

　　由得：

　　，

　　由题意知：，

　　所以，．

　　于是：．

　　因为，且在双曲线右支上，所以

　　．

　　由①②知，．

　　解法二：(1)同解法一

　　(2)设，，的中点为．

　　①当时，，

　　因为，所以；

　　②当时，．

　　又．所以；

　　由，得，由第二定义得

　　．

　　所以．

　　于是由，得

　　因为，所以，又，

　　解得：．由①②知．