Question

【题目】已知抛物线C：y=（x+1）2与圆 （r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．
（1）求r；
（2）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设A（x0，（x0+1）2），

∵y=（x+1）2，y′=2（x+1）

∴l的斜率为k=2（x0+1）

当x0=1时，不合题意，所以x0≠1

圆心M（1， ），MA的斜率 ．

∵l⊥MA，∴2（x0+1）× =﹣1

∴x0=0，∴A（0，1），

∴r=|MA|= ；

（2）

解：设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1

若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为

∴

∴t2（t2﹣4t﹣6）=0

∴t0=0，或t1=2+ ，t2=2﹣

抛物线C在点（ti，（ti+1）2）（i=0，1，2）处的切线分别为l，m，n，其方程分别为

y=2x+1①，y=2（t1+1）x﹣ ②，y=2（t2+1）x﹣ ③

②﹣③：x=

代入②可得：y=﹣1

∴D（2，﹣1），

∴D到l的距离为

【解析】（1）设A（x0 ， （x0+1）2），根据y=（x+1）2 ， 求出l的斜率，圆心M（1， ），求得MA的斜率，利用l⊥MA建立方程，求得A的坐标，即可求得r的值；（2）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1，若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为 ，建立方程，求得t的值，求出相应的切线方程，可得D的坐标，从而可求D到l的距离．
【考点精析】掌握点到直线的距离公式是解答本题的根本，需要知道点到直线的距离为：．