Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为 ．
（1）求抛物线C的方程；
（2）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点M的横坐标为 ，直线l：y=kx+ 与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当 ≤k≤2时，|AB|2+|DE|2的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知F（0， ），圆心Q在线段OF平分线y= 上，

因为抛物线C的标准方程为y=﹣ ，

所以 ，即p=1，

因此抛物线C的方程x2=2y．

（2）解：假设存在点M（x0， ），（x0＞0）满足条件，

抛物线C在点M处的切线的斜率为

y′ = =x0．

令y= 得， ，

所以Q（ ），

又|QM|=|OQ|，

故 ，

因此 ．又x0＞0．

所以x0= ，此时M（ ）．

故存在点M（ ），使得直线MQ与抛物线C相切与点M．

（3）解：当x0= 时，由（Ⅱ）的Q（ ），⊙Q的半径为：r= = ．

所以⊙Q的方程为 ．

由 ，整理得2x2﹣4kx﹣1=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），由于△=16k2+8＞0，x1+x2=2k，x1x2=﹣ ，

所以|AB|2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（1+k2）（4k2+2）．

由 ，整理得（1+k2）x2﹣ ，

设D，E两点的坐标分别为（x3，y3），（x4，y4），

由于△= ＞0，x3+x4= ，x3x4= ．

所以|DE|2=（1+k2）[（x3+x4）2﹣4x3x4]= ，

因此|AB|2+|DE|2=（1+k2）（4k2+2）+ ，

令1+k2=t，由于△=16k2+8＞0 ，

≤k≤2，∴t≥

则 ，

所以|AB|2+|DE|2=t（4t﹣2）+ =4t2﹣2t+ ，

设g（t）=4t2﹣2t+ ，t ，因为g′（t）=8t﹣2﹣ ，

所以当t ，g′（t）≥g′（ ）=6，

即函数g（t）在t 是增函数，所以当t= 时，g（t）取最小值 ，

因此当k= 时，|AB|2+|DE|2的最小值为 ．

【解析】（1）通过F（0， ），圆心Q在线段OF平分线y= 上，推出求出p=1，推出抛物线C的方程．（2）假设存在点M（x0 ， ），（x0＞0）满足条件，抛物线C在点M处的切线的斜率为函数的导数，求出Q的坐标，利用|QM|=|OQ|，求出M（ ）．使得直线MQ与抛物线C相切与点M．（3）当x0= 时，求出⊙Q的方程为．利用直线与抛物线方程联立方程组．设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用韦达定理，求出|AB|2 ． 同理求出|DE|2 ， 通过|AB|2+|DE|2的表达式，通过换元，利用导数求出函数的最小值．