Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点，曲线和曲线交于，两点，且，求实数的值.

Answer 1

【答案】(1) ；

(2) 或.

【解析】分析：（Ⅰ）曲线消参能求出其普通方程，曲线的极坐标方程转化为，代入，能求出曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）将曲线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理得，设，对应的参数分别为，，由题意可得，由此求出.

详解：解：（Ⅰ）由的参数方程消去得其普通方程为，

由的极坐标方程得，

所以的直角坐标方程为.

（Ⅱ）将曲线的参数方程代入曲线：得，

由得.

设，对应的参数分别为，，则，

由题意得，

解得或满足，

所以实数的值为或.