Question

20．求${（{1+x+\frac{1}{x^2}}）^{10}}$的展开式中的常数项．

Answer 1

分析 将已知的二项式转化为：（1+x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）¹⁰=（1+x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）（1+x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）…（1+x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）（10个括号相乘），利用组合数的性质，即可求得其展开式中的常数项

解答 解：求${（{1+x+\frac{1}{x^2}}）^{10}}$═（1+x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）（1+x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）•…•（1+x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）（10个括号相乘），
∴每个括号中都提供常数项1，有1¹⁰种；
从10个括号中有选两个提供x项，从剩余的8个括号中选一个提供$\frac{1}{{x}^{2}}$，其余的括号中均提供1，有${C}_{10}^{2}$•${C}_{8}^{1}$ 种；
从10个括号中有选4个提供x项，从剩余的6个括号中选2个提供$\frac{1}{{x}^{2}}$，其余的括号中均提供1，有${C}_{10}^{4}$•${C}_{6}^{2}$ 种；
从10个括号中有选6个提供x项，从剩余的4个括号中选3个提供$\frac{1}{{x}^{2}}$，其余的括号中均提供1，有${C}_{10}^{6}$•${C}_{4}^{3}$种；
∴展开式中的常数项为1+${C}_{10}^{2}{•C}_{8}^{1}$+${C}_{10}^{4}{•C}_{6}^{2}$+${C}_{10}^{6}{•C}_{4}^{3}$=1+360+3150+840=4351．

点评 本题考查二项式系数的性质，熟练应用组合数的性质是解决问题的关键，突出考查转化思想，属于中档题．