Question

20．设数列{a_n}的前n项和为S_n，点（a_n，S_n）在直线y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₃a_n，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过将点（a_n，S_n）代入直线y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$方程可知S_n=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$，并与S_n-1=$\frac{3}{2}$a_n-1-$\frac{3}{2}$作差，整理可知a_n=3a_n-1（n≥2），进而可知数列{a_n}是首项、公比均为3的等比数列，从而可得结论；
（2）通过（1）裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）由已知可得S_n=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$，
当n≥2时，S_n-1=$\frac{3}{2}$a_n-1-$\frac{3}{2}$，
两式相减得：a_n=$\frac{3}{2}$（a_n-a_n-1），即a_n=3a_n-1（n≥2），
又∵S₁=$\frac{3}{2}$a₁-$\frac{3}{2}$，即a₁=3，
∴数列{a_n}是首项、公比均为3的等比数列，
∴a_n=3ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=log₃a_n=b_n=log₃3ⁿ=n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．