Question

10．在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x²+y²=1上相异三点．若存在正实数λ，μ，使得$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，则（λ-2）²+μ²的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （-∞，2）
• C． （2，+∞）
• D． （-∞，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由条件可以得到$-1＜\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}＜1$，而根据$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$便可得到${μ}^{2}=1+{λ}^{2}-2λ\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$，这样带入$（λ-2）^{2}+{μ}^{2}=（λ-2）^{2}+1+{λ}^{2}-2λ\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$，根据$-1＜\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}＜1$便可得到2λ²-6λ+5＜（λ-2）²+μ²＜2λ²-2λ+5，根据二次函数的值域便可得出（λ-2）²+μ²的取值范围．

解答 解：根据题意，$-1＜\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}＜1$；
由$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$得，$μ\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}-λ\overrightarrow{OA}$；
∴${μ}^{2}=1+{λ}^{2}-2λ\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$；
∴（λ-2）²+μ²=（λ-2）²+1+λ²$-2λ\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$；
∵λ＞0；
∴（λ-2）²+1+λ²-2λ＜$（λ-2）^{2}+1+{λ}^{2}-2λ\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$＜（λ-2）²+1+λ²+2λ；
（λ-2）²+1+λ²-2λ=2λ²-6λ+5$＞\frac{1}{2}$；
（λ-2）²+1+λ²+2λ=2λ²-2λ+5无最大值；
∴（λ-2）²+μ²的取值范围为$（\frac{1}{2}，+∞）$．
故选A．

点评 考查向量数乘的几何意义，向量数量积的计算公式，以及不等式的性质，二次函数的值域．