Question

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=$\frac{π}{3}$，且a²-b²-c²=-$\frac{11}{7}$bc
（1）求cosC的值
（2）若a=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，可得sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$，可得cosC=-cos（A+B）=-[cosAcosB-sinAsinB]．
（2）由（1）可得：sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$，在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}$，可得c=$\frac{asinC}{sinA}$，可得$S=\frac{1}{2}ac$sinB．

解答 解：（1）在△ABC中，由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{11}{14}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{5}{14}\sqrt{3}$，
∴cosC=-cos（A+B）=-[cosAcosB-sinAsinB]=-$（\frac{11}{14}×\frac{1}{2}-\frac{5\sqrt{3}}{14}×\frac{\sqrt{3}}{2}）$=$\frac{1}{7}$．
（2）由（1）可得：sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}$，可得c=$\frac{asinC}{sinA}$=8，
∴$S=\frac{1}{2}ac$sinB=$\frac{1}{2}×5×8×\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．