Question

6．已知函数f（x）=2sin$\frac{πx}{3}$-4sin²$\frac{πx}{6}$，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的区间[$\frac{1}{4}$，$\frac{11}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{πx}{3}$+$\frac{π}{4}$）-2，根据三角函数周期公式即可求值得解；
（2）由x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{11}{4}$]，可求$\frac{πx}{3}$+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 （本题满分为13分）
解：（1）∵f（x）=2sin$\frac{πx}{3}$-4sin²$\frac{πx}{6}$
=2sin$\frac{πx}{3}$-2（1-cos$\frac{πx}{3}$）
=2$\sqrt{2}$（sin$\frac{πx}{3}$cos$\frac{π}{4}$+cos$\frac{πx}{3}$sin$\frac{π}{4}$）-2
=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{πx}{3}$+$\frac{π}{4}$）-2．…3分
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{π}{3}}$=6．…5分
（2）∵x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{11}{4}$]，
∴$\frac{πx}{3}$+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，…7分
∵f（x）在区间[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]上是增函数，在区间[$\frac{3}{4}$，$\frac{11}{4}$]上是减函数，…9分
而f（$\frac{1}{4}$）=$\sqrt{6}$-2，f（$\frac{3}{4}$）=2$\sqrt{2}-2$，f（$\frac{11}{4}$）=-$\sqrt{2}-2$，…11分
∴f（x）的区间[$\frac{1}{4}$，$\frac{11}{4}$]上的最大值为2$\sqrt{2}$-2，最小值为-$\sqrt{2}-2$．…13分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．