Question

16．已知函数f（x）=log₂（1+x）+log₂（1-x）
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域，并判断f（x）的奇偶性
（Ⅱ）若不等式f（x）＞m的解集为空集，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由对数式有意义可得1+x＞0且1-x＞0，解不等式可得定义域，由奇偶性的定义可得函数为偶函数；
（Ⅱ）化简可得f（x）=log₂（1-x²），由-1＜x＜1和对的运算以及不等式的性质逐步可得函数值域，由恒成立可得．

解答 解：（Ⅰ）由对数式有意义可得1+x＞0且1-x＞0，
解得-1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域为（-1，1），
∵f（-x）=log₂（1-x）+log₂（1+x）=f（x），
∴结合定义域关于原点对称可得f（x）为偶函数；
（Ⅱ）f（x）=log₂（1+x）+log₂（1-x）
=log₂[（1+x）（1-x）]=log₂（1-x²），
∵-1＜x＜1，∴0≤x²＜1，∴-1＜-x²≤0，
∴0＜1-x²≤1，∴f（x）=log₂（1-x²）≤0，
要使不等式f（x）＞m的解集为空集，则m≥0，
故实数m的取值范围为[0，+∞）．

点评 本题考查对数函数的图象和性质，涉及对数不等式的解法，属基础题．