Question

1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinC=（a-$\frac{\sqrt{3}b}{2}$）sinA+（b-$\frac{\sqrt{3}a}{2}$）sinB．
（1）求角C的大小；
（2）若a=2$\sqrt{3}$，c=2，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理结合条件可得a²+b²-c²=$\sqrt{3}$ab，利用余弦定理可求cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合范围0＜C＜π，即可求C．
（2）法一：由余弦定理结合条件整理可得b²-6b+8=0，即可解得b的值，从而可求周长；
法二：由正弦定理，结合条件可得sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求得A，从而可求B，b的值，即可解得三角形周长．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由正弦定理，结合条件：csinC=（a-$\frac{\sqrt{3}b}{2}$）sinA+（b-$\frac{\sqrt{3}a}{2}$）sinB．
可得，c²=（a-$\frac{\sqrt{3}b}{2}$）×a+（b-$\frac{\sqrt{3}a}{2}$）×b              （2分）
=a²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$ab+b²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$ab=a²+b²-$\sqrt{3}$ab．
∴a²+b²-c²=$\sqrt{3}$ab，（4分）
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}ab}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即 cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{6}$． （6分）
（2）法一：由余弦定理，结合条件：a=2$\sqrt{3}$，c=2，又由（Ⅰ）知C=$\frac{π}{6}$，
可得 c²=a²+b²-2abcosC，
∴4=12+b²-2×$2\sqrt{3}b×\frac{\sqrt{3}}{2}$，即b²-6b+8=0，（8分）
解得b=2或b=4，经检验，两解均有意义． （11分）
综上，△ABC周长为4+2$\sqrt{3}$或6+2$\sqrt{3}$． （12分）
法二：由正弦定理，结合条件：a=2$\sqrt{3}$，c=2，又由（Ⅰ）知C=$\frac{π}{6}$，
可得 sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{2\sqrt{3}-\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．（7分）
∵A＞C，∴A＞C∴a=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，从而B=$\frac{π}{2}$或$\frac{π}{6}$．（8分）
当B=$\frac{π}{2}$时，△ABC为直角三角形，∴b=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$=4，∴△ABC周长为6+2$\sqrt{3}$；
当B=$\frac{π}{6}$时，△ABC为等腰三角形，∴b=c=2，∴△ABC周长为4+2$\sqrt{3}$．（11分）
综上，△ABC周长为4+2$\sqrt{3}$或6+2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．