Question

12．已知数列{a_n}中，2a_n+1-a_n+1a_n+a${\;}_{n}^{2}$=4，S_n为它的前n项和，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n•3ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过对2a_n+1-a_n+1a_n+a${\;}_{n}^{2}$=4变形可知（2-a_n）a_n+1=（2-a_n）（2+a_n），进而分a_n=2或a_n+1=a_n+2两种情况讨论即可；
（2）通过（1）可知a_n=2或a_n=2n-1，当a_n=2时直接利用等比数列的求和公式计算即得结论；当a_n=2n-1时可知b_n=（2n-1）•3ⁿ，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵2a_n+1-a_n+1a_n+a${\;}_{n}^{2}$=4，
∴（2-a_n）a_n+1=（2-a_n）（2+a_n），
∴2-a_n=0或a_n+1=2+a_n，即a_n=2或a_n+1=a_n+2，
①当a_n=2时，显然满足题意；
②当a_n+1=a_n+2时，由S₁，S₂，S₄成等比数列，
可知$（2{a}_{1}+2）^{2}$=a₁（4a₁+12），解得：a₁=1，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
综上所述，a_n=2或a_n=2n-1；
（2）由（1）可知a_n=2或a_n=2n-1，
①当a_n=2时，b_n=a_n•3ⁿ=2•3ⁿ，
∴T_n=2•$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=3ⁿ⁺¹-3；
②当a_n=2n-1时，b_n=a_n•3ⁿ=（2n-1）•3ⁿ，
∴T_n=1•3+3•3²+…+（2n-1）•3ⁿ，
3T_n=1•3²+3•3³+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
两式相减得：-2T_n=3+2（3²+3³+…+•3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+2•$\frac{{3}^{2}（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=-6-（2n-2）•3ⁿ⁺¹，
于是T_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．