Question

17．在空间中，以AB为公共边的两正方形ABCD，ABEF的边长皆为4，已知$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AF}$=2，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AE}$=（　　）

• A． 18
• B． 14
• C． 30
• D． 34

Answer 1

分析 作出图形，求出二面角的大小，EC，AE，AC，使用余弦定理求出$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AC}$的夹角，代入数量积公式计算．

解答 解：∵$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AF}$=4×4×cos∠DAF=2，∴cos∠DAF=$\frac{1}{8}$．∴cos∠CBE=cos∠DAF=$\frac{1}{8}$．
∴CE=$\sqrt{B{C}^{2}+B{E}^{2}-2BC•BEcos∠CBE}$=2$\sqrt{7}$．
∵AC=AE=4$\sqrt{2}$，∴cos∠CAE=$\frac{A{C}^{2}+A{E}^{2}-C{E}^{2}}{2AC•AE}$=$\frac{9}{16}$．
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AE}$=AC•AE•cos∠CAE=4$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$×$\frac{9}{16}$=18．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，余弦定理的应用，属于中档题．