Question

2．已知数列|a_n|满足a₁=1，$\sqrt{n}{a}_{n+1}$=$\sqrt{n+1}$a_n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式：
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$，n∈N^*，数列|b_n|的前n项和为S_n．求证：S_n＜$\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}$，∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n-1}}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n-2}}$，…$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{1}$，将以上式子相乘得到a_n；
（2）求出b_n，使用拆项法求出S_n，利用做差法比较大小．

解答 解：（1）∵$\sqrt{n}{a}_{n+1}$=$\sqrt{n+1}$a_n，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}$，∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n-1}}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n-2}}$，$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$=$\frac{\sqrt{n-2}}{\sqrt{n-3}}$…$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n-1}}$×$\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n-2}}$×$\frac{\sqrt{n-2}}{\sqrt{n-3}}$×…×$\frac{\sqrt{2}}{1}$=$\sqrt{n}$，
∴a_n=$\sqrt{n}$a₁=$\sqrt{n}$．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．
∴S_n=$\sqrt{2}-1$+$\sqrt{3}-\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$=$\sqrt{n+1}$-1．
∴S_n²-n=2-2$\sqrt{n+1}$＜0，∴S_n²＜n，即S_n＜$\sqrt{n}$．

点评 本题考查了数列的递推公式，通项公式，数列求和，属于中档题．