Question

7．若存在a∈R，使关于x的不等式x|x-a|＜m+1在（0，1]上恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （2-2$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$）
• B． （-1，+∞）
• C． （2-2$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （-1，2+2$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 若存在a∈R，使关于x的不等式x|x-a|＜m+1在（0，1]上恒成立，则存在a∈R，使|x-a|＜$\frac{m+1}{x}$在（0，1]上恒成立，即存在a∈R，使-$\frac{m+1}{x}$-x＜-a＜$\frac{m+1}{x}$-x在（0，1]上恒成立，构造函数分别求出最值，可得答案．

解答 解：若存在a∈R，使关于x的不等式x|x-a|＜m+1在（0，1]上恒成立，
则存在a∈R，使|x-a|＜$\frac{m+1}{x}$在（0，1]上恒成立，
故m+1＞0，即m＞-1，
则存在a∈R，使-$\frac{m+1}{x}$＜x-a＜$\frac{m+1}{x}$在（0，1]上恒成立，
则存在a∈R，使-$\frac{m+1}{x}$-x＜-a＜$\frac{m+1}{x}$-x在（0，1]上恒成立，
令g（x）=$\frac{m+1}{x}$-x，则g（x）=$\frac{m+1}{x}$-x在（0，1]上为减函数，当x=1时，达最小值m，
令f（x）=-$\frac{m+1}{x}$-x，则f′（x）=$\frac{m+1}{{x}^{2}}$-1，
若m+1≥1，即m≥0，则f′（x）≥0在（0，1]上恒成立，当x=1时，达最大值-m-2，
此时-m-2＜m，解得：m＞-1，故m≥0，
若m+1＜1，即-1＜m＜0，则在（0，$\sqrt{m+1}$）上，f′（x）＞0，在（$\sqrt{m+1}$1]上，f′（x）＜0，
当x=$\sqrt{m+1}$时，达最大值-2$\sqrt{m+1}$，
此时-2$\sqrt{m+1}$＜m，解得：2-2$\sqrt{2}$＜m＜2+2$\sqrt{2}$，故m＞2-2$\sqrt{2}$，
综上可得：实数m的取值范围为（2-2$\sqrt{2}$，+∞），
故选：C．

点评 本题考查的知识点是恒成立问题，绝对值不等式的解法，难度较大．