Question

15．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃+a₇=22，S₄=24．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和为T_n，求证：T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设等差数列{a_n}的公差为d，联立a₃+a₇=22、S₄=24计算可知首项及公差，进而可得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知S_n=n（n+2），裂项可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），进而并项相加、放缩即得结论．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，则由已知可得：
$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+8d=22}\\{4{a}_{1}+6d=24}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（Ⅱ）由（I）可知S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n（n+2），
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$
＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．