Question

19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$\sqrt{3}$acosC+（$\sqrt{3}$c-2b）cosA=0，且cosA•cosC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，则△ABC是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 等腰三角形
• C． 等边三角形
• D． 等腰三角形或直角三角形

Answer 1

分析 利用正弦定理化简已知等式可得$\sqrt{3}$sinAcosC+$\sqrt{3}$sinCcosA=2sinBcosA，由诱导公式及三角形内角和定理可得$\sqrt{3}$sinB=2sinBcosA，结合范围B∈（0，π），sinB＞0，可求A，又cosA•cosC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，解得cosC=$\frac{1}{2}$，由范围C∈（0，π），可求C，从而求得B=$\frac{π}{2}$，即可得解．

解答 解：∵$\sqrt{3}$acosC+（$\sqrt{3}$c-2b）cosA=0，
∴由正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinAcosC+$\sqrt{3}$sinCcosA=2sinBcosA，
∴$\sqrt{3}$sin（A+C）=$\sqrt{3}$sinB=2sinBcosA，
∵B∈（0，π），sinB＞0，
∴解得：cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{6}$，
又∵cosA•cosC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，解得：cosC=$\frac{1}{2}$，
∴由C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{3}$，
∴B=π-A-C=$\frac{π}{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦函数公式，余弦函数的图象和性质的应用，属于中档题．