Question

2．在△ABC中，角A、B、C对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且有4sinBsin²（$\frac{π}{4}$+$\frac{B}{2}$）+cos2B=1+$\sqrt{3}$．
（1）求角B的度数；
（2）若a=4，S=5$\sqrt{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换公式化简已知等式，算出sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合B是△ABC的内角可B=$\frac{π}{3}$或B=$\frac{2π}{3}$；
（2）根据正弦定理的面积公式，算出边c=5．再利用余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，代入数据即可算出边b的值等于$\sqrt{21}$或$\sqrt{61}$．

解答 解：（1）由4sinB•sin²（$\frac{π}{4}$+$\frac{B}{2}$）+cos2B=1+$\sqrt{3}$，得：2sinB•[1-cos（$\frac{π}{2}$+B）]+1-2sin²B=1+$\sqrt{3}$，
可得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵B是△ABC的内角，
∴B=$\frac{π}{3}$或B=$\frac{2π}{3}$；
（2）∵a=4，S=5$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×4×c×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$，解之得c=5，
∵由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB，
∴当B=$\frac{π}{3}$时，b=$\sqrt{16+25-2×4×5×cos60°}$=$\sqrt{21}$；
当B=$\frac{2π}{3}$时，b=$\sqrt{16+25-2×4×5×cos120°}$=$\sqrt{61}$．
即边b的值等于$\sqrt{21}$或$\sqrt{61}$．

点评 本题给出三角形中角B的三角等式，求角B的大小，并在已知面积的情况下求边b．着重考查了三角恒等变换、正余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题．