Question

3．已知b，c∈R，二次函数f（x）=x²+bx+c．
（I）对任意的实数c，存在x₀∈[-1，2]，使得|f（x₀）|≥5，求正数b的取值范围；
（2）若f（x）在（0，1）上与x轴有两个不同的交点，求c²+（1+b）c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对c分类讨论，即可求正数b的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上与x轴有两个不同的交点，即函数f（x）=x²+bx+c的两个零点为x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜1），即f（0）=c=x₁x₂＞0，f（1）=1+b+c=（1-x₁）（1-x₂）＞0，进而结合基本不等式可得c（1+b+c）的取值范围．

解答 解：（1）对任意的实数c，存在x₀∈[-1，2]，使得|f（x₀）|≥5，则
c≥0时只需要f（2）≥5即可，∴4+2b+c≥5，∴2b＞1，∴b＞$\frac{1}{2}$；
c＜0时只需要f（-1）≤-5即可，∴1-b+c≤-5，∴b≥6；
综上所述，b≥6；
（2）设二次函数f（x）=x²+bx+c的零点为x₁和x₂，且0＜x₁＜x₂＜1，
则：f（0）=c=x₁x₂＞0，
f（1）=1+b+c=（1-x₁）（1-x₂）=1+b+c＞0
f（0）f（1）=c²+bc+c=x₁x₂（1-x₁）（1-x₂）＜$（\frac{{x}_{1}+1-{x}_{1}}{2}）^{2}•（\frac{{x}_{2}+1-{x}_{2}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{16}$，
∴0＜c²+（1+c）b＜$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查的知识要点：二次函数的零点和一元二次方程的根的关系，基本不等式的应用，及相关的运算是典型的二次函数最值问题，解题需要灵活运用初等数学思想，包括数形结合，分类讨论，函数思想，转化且探究意识要强．