Question

3．某物理实验室做实验，需要一个体积为72m³的长方体封闭纸盒．若纸盒底面一边的长是另一边长的2倍，S表示纸盒的表面积，x表示纸盒底面上较短的边长．
（1）试写出S与x间的函数关系式；
（2）当x取什么值时，做一个这样的长方体纸盒用纸盒最少？（值得厚度忽略不计）

Answer 1

分析 （1）由题意可表示出长方体的另外的边长，由表面积公式可得；
（2）变形可得S=4x²+$\frac{108}{x}$+$\frac{108}{x}$，由基本不等式可得．

解答 解：（1）由题意可得纸盒底面上较长的边长为2x，
则由体积公式可得72=2x•x•h，（h为纸盒的高），
则h=$\frac{36}{{x}^{2}}$，故S=2•2x•x+2•2x•$\frac{36}{{x}^{2}}$+2•x•$\frac{36}{{x}^{2}}$=4x²+$\frac{216}{x}$，x＞0；
（2）∵S=4x²+$\frac{216}{x}$，x＞0，∴S=4x²+$\frac{108}{x}$+$\frac{108}{x}$≥3$\root{3}{4{x}^{2}•\frac{108}{x}•\frac{108}{x}}$=108
当且仅当4x²=$\frac{108}{x}$即x=3时取等号．
故当x=3时，做一个这样的长方体纸盒用纸盒最少．

点评 本题考查函数的解析式的求解，涉及基本不等式解决最优化问题，属中档题．