Question

12．已知关于x的方程x²+ax+2b=0（a∈R，b∈R）的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，则$\frac{a-1}{b-3}$的取值范围为（$\frac{2}{3}$，2）．

Answer 1

分析 设f（x）=x²+ax+2b，根据二次函数的性质与零点存在性定理可得f（0）＞0、f（1）＜0且f（2）＞0．由此建立关于a、b的二元一次不等式组，设点E（a，b）为区域内的任意一点，根据直线的斜率公式可得k=$\frac{b-3}{a-1}$，表示点E（a，b）与点D（1，3）连线的斜率，将点E在区域内运动并观察直线的倾斜角的变化，算出k的取值范围即可得出结论．

解答 解：设f（x）=x²+ax+2b，
∵方程x²+ax+2b=0的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，
∴可得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=2b＞0}\\{f（1）=1+a+2b＜0}\\{f（2）=4+2a+2b＞0}\end{array}\right.$．
作出满足上述不等式组对应的点（a，b）所在的平面区域，
得到△ABC及其内部，即如图所示的阴影部分（不含边界）．
其中A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0），
设点E（a，b）为区域内的任意一点，
则k=$\frac{b-3}{a-1}$，表示点E（a，b）与点D（1，3）连线的斜率．
∵K_AD=$\frac{3-1}{1+3}$=$\frac{1}{2}$，k_CD=$\frac{3-0}{1+1}$=$\frac{3}{2}$，∴K_AD＜k＜K_CD，
∴k的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
则$\frac{a-1}{b-3}$的取值范围为（$\frac{2}{3}$，2）
故答案为：（$\frac{2}{3}$，2）．

点评 本题着重考查了二次函数的性质、零点存在性定理、二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率公式与两点间的距离公式等知识，属于中档题．