【题目】已知矩形的对角线交于点,边所在直线的方程为,点在边所在的直线上.
(1)求矩形的外接圆的方程;
(2)已知直线(),求证:直线与矩形的外接圆恒相交,并求出相交的弦长最短时的直线的方程.
【答案】解:(1)由且,点在边所在的直线上
所在直线的方程是: 即由得
矩形ABCD的外接圆的方程是:
(2)直线的方程可化为:
可看作是过直线和的交点的直线系,即恒过定点由知点在圆内,所以与圆恒相交,
设与圆的交点为, 为到的距离)
设与的夹角为,则当时, 最大, 最短此时的斜率为的斜率的负倒数: , 的方程为
即:
【解析】试题分析:由且点在边所在的直线上得直线的方程,联立直线方程得交点的坐标,则题意可知矩形外接圆圆心为,半径,可得外接圆方程;(2)由可知恒过点,求得,可证与圆相交,求得与圆相交时弦长,经检验, 时弦长最短,可得,进而得,最后可得直线方程.
试题解析:(1)∵且,∴,点在边所在的直线上,
∴所在直线的方程是,即.
由得.
∴,∴矩形的外接圆的方程是.
(2)证明:直线的方程可化为,
可看作是过直线和的交点的直线系,即恒过定点,
由知点在圆内,所以与圆恒相交,
设与圆的交点为(为到的距离),
设与的夹角为,则,当时, 最大, 最短.
此时的斜率为的斜率的负倒数,即,故的方程为,即.
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【题目】已知函数(),.
(1)若的图象在处的切线恰好也是图象的切线.
①求实数的值;
②若方程在区间内有唯一实数解,求实数的取值范围.
(2)当时,求证:对于区间上的任意两个不相等的实数, ,都有成立.
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【题目】某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资类产品的收益与投资额成正比,投资类产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系;
(2)该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?
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【题目】已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.
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【题目】下列说法:
①分类变量与的随机变量越大,说明“与有关系”的可信度越大.
②以模型去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设,将其变换后得到线性方程,则的值分别是和0.3.
③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为中, ,
则.正确的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】函数f(x)是R上的偶函数,且当x>0时,函数的解析式为f(x)= .
(1)判断并证明f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(2)求当x<0时,函数的解析式.
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【题目】在某次水下科研考察活动中,需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业,根据以往经验,潜水员下潜的平均速度为(米/单位时间),每单位时间的用氧量为(升),在水底作业10个单位时间,每单位时间用氧量为0.9(升),返回水面的平均速度为(米/单位时间),每单位时间用氧量为1.5(升),记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为(升).
(1)求关于的函数关系式;
(2)若 ,求当下潜速度取什么值时,总用氧量最少.
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